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Ch 6. 지수함수와 로그함수
지수와 로그, 지수함수와 로그함수
이번 글에서는 지수와 로그의 근본적인 관계부터 시작하여, 이들을 기반으로 하는 지수함수와 로그함수의 특징, 그리고 두 함수가 증가함수일 때의 비교를 자세히 알아본다.
1. 지수(Exponent)와 로그(Logarithm)의 관계
지수와 로그는 서로 역연산 관계에 있는 수학적 개념이다. 이 관계를 이해하는 것이 지수함수와 로그함수를 이해하는 핵심이다.
지수: 거듭제곱을 나타내는 표기법이다. 는 밑(base) 를 지수(exponent) 만큼 곱한다는 의미이다. 예를 들어, 은 2를 3번 곱하여 8이 된다는 뜻이다.
로그: 지수를 찾는 연산이다. 는 "밑 를 몇 번 곱해야 가 되는가?"라는 질문에 대한 답이다. 예를 들어, 은 2를 3번 곱해야 8이 된다는 뜻이다.
이러한 관계는 다음과 같은 식으로 표현될 수 있다.
2. 지수함수 (Exponential Function)
정의: 지수함수는 (단, , )의 형태를 가진다. 변수 가 지수 자리에 있다.
그래프 특징:
- 항상 점 (0, 1)을 지난다.
- 축을 점근선으로 가진다. 즉, 그래프가 축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않는다.
값에 따른 그래프 변화:
- (증가함수): 값이 증가할수록 값도 급격하게 증가한다. 예를 들어 와 같은 형태이다.
- (감소함수): 값이 증가할수록 값은 0에 가까워지며 감소한다. 예를 들어 와 같은 형태이다.
3. 로그함수 (Logarithmic Function)
정의: 로그함수는 (단, , , )의 형태를 가진다. 변수 가 로그의 진수 자리에 있다.
그래프 특징:
- 항상 점 (1, 0)을 지난다.
- 축을 점근선으로 가진다.
값에 따른 그래프 변화:
- (증가함수): 값이 증가할수록 값도 증가하지만, 증가 속도가 점점 느려진다. 예를 들어 와 같은 형태이다.
- (감소함수): 값이 증가할수록 값은 음의 무한대로 감소한다. 예를 들어 와 같은 형태이다.
4. 지수함수와 로그함수의 비교 (증가함수일 때)
두 함수는 일 때 모두 증가함수이지만, 그 증가 방식에 큰 차이가 있다.
- 역함수 관계: 와 는 서로 역함수 관계이다. 이 관계는 그래프가 직선 에 대해 대칭이라는 것을 의미한다.
- 증가 속도:
- 지수함수(): 초기에는 완만하게 증가하다가 값이 커질수록 기하급수적으로 빠르게 증가한다.
- 로그함수(): 값이 증가할수록 증가 속도가 점점 느려진다.
두 함수는 와 의 위치가 바뀌는 역함수 관계에 있기 때문에, 지수함수의 정의역(모든 실수)은 로그함수의 치역이 되고, 지수함수의 치역(양수)은 로그함수의 정의역이 된다.
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