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본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

 

Ch 4. 다항함수 - 멱함수, 다항함수, 이차함수

 

멱함수, 다항함수, 이차함수

기초 대수학에서 중요한 개념인 멱함수, 다항함수, 그리고 이차함수에 대해 자세히 알아본다.

1. 멱함수 (Power Function)

정의: 멱함수는 y=xn 의 형태로 나타내어지는 함수이다. 여기서 x는 밑(base), n은 실수인 지수(exponent)이다. 지수의 값에 따라 멱함수의 그래프와 성질은 크게 달라진다.

지수에 따른 멱함수의 특징:

• n>0 인 경우:
  • n이 양의 정수일 때:
    • n이 홀수이면 함수는 원점을 지나고 전 구간에서 증가하는 형태를 가진다. 예를 들어 y=x1 (직선), y=x3 등이 있다.
    • n이 짝수이면 함수는 y축에 대해 대칭이며, x=0에서 최솟값 0을 가진다. 예를 들어 y=x2, y=x4 등이 있다.
• n이 양의 분수일 때: 함수의 정의역은 일반적으로 x≥0으로 제한된다. 그래프는 0에서 시작하여 증가하는 형태를 가진다. 예를 들어 y=x1/2=x​, y=x3/2 등이 있다.
• n=0 인 경우: y=x0=1 (단, x≠0). 이는 x≠0인 모든 x 값에 대해 y 값이 1인 수평선이다.
• n<0 인 경우:
  • n이 음의 정수일 때: 함수는 x=0에서 정의되지 않으며, x축과 y축이 점근선이 된다.
    • n이 홀수이면 함수는 원점에 대해 대칭이다. 예를 들어 y=x−1=x1​, y=x−3=x31​ 등이 있다.
    • n이 짝수이면 함수는 y축에 대해 대칭이며, 항상 양의 값을 가진다. 예를 들어 y=x−2=x21​, y=x−4=x41​ 등이 있다.
• n이 음의 분수일 때: 함수의 정의역은 일반적으로 x>0으로 제한된다. 그래프는 x=0에 가까워질수록 y 값이 무한대로 커지거나 작아지는 형태를 가진다. 예를 들어 y=x−1/2=x​1​ 등이 있다.

2. 다항함수 (Polynomial Function)

정의: 다항함수는 하나 이상의 멱함수의 합으로 이루어진 함수이다. 일반적인 형태는 다음과 같다.

f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x1+a0​

여기서 an​,an−1​,…,a1​,a0​는 실수 상수이며, n은 0 또는 양의 정수인 음이 아닌 정수이다. n은 다항함수의 차수(degree)라고 하며, an​≠0일 때 an​을 최고차항의 계수(leading coefficient)라고 한다.

다항함수의 특징:

• 정의역: 모든 실수 x에 대해 정의된다.
• 연속성: 모든 실수 구간에서 연속이다.
• 미분가능성: 모든 실수 구간에서 미분가능하다.

차수에 따른 다항함수의 종류:

• 0차 함수 (상수 함수): f(x)=a0​ (예: f(x)=3) - 그래프는 수평선이다.
• 1차 함수 (선형 함수): f(x)=a1​x+a0​ (예: f(x)=2x+1) - 그래프는 직선이다.
• 2차 함수 (이차 함수): f(x)=a2​x2+a1​x+a0​ (단, a2​≠0) - 그래프는 포물선이다.
• 3차 함수 (삼차 함수): f(x)=a3​x3+a2​x2+a1​x+a0​ (단, a3≠0) - 그래프는 S자 형태와 유사할 수 있다.
• 고차 함수: 4차 이상의 다항함수이다. 그래프의 형태는 차수와 계수에 따라 더욱 다양해진다.

3. 이차함수 (Quadratic Function)

정의: 이차함수는 2차 다항함수로, 다음과 같은 형태를 가진다.

f(x)=ax2+bx+c (단, a≠0)

이차함수의 그래프 (포물선):

• 방향:
  • a>0 이면 포물선은 아래로 볼록(오목)하다.
  • a<0 이면 포물선은 위로 볼록(볼록)하다.
• 꼭짓점 (Vertex): 포물선의 가장 낮거나 높은 점이다. 꼭짓점의 x좌표는 −2ab​ 이며, y좌표는 f(−2ab​) 이다.
• 대칭축: 꼭짓점을 지나고 y축에 평행한 직선 x=−2ab​ 를 기준으로 포물선은 좌우 대칭이다.
• y절편: x=0일 때의 y 값으로, (0,c) 이다.
• x절편: y=0일 때의 x 값으로, 이차방정식 ax2+bx+c=0의 실근이다. 판별식 D=b2−4ac의 부호에 따라 x절편의 개수가 결정된다.
  • D>0: 서로 다른 두 개의 실근 (두 개의 x절편)
  • D=0: 하나의 실근 (꼭짓점이 x축 위에 위치)
  • D<0: 실근 없음 ( x축과 만나지 않음)

이차함수의 표준형:

이차함수는 다음과 같은 표준형으로 표현될 수 있으며, 이를 통해 꼭짓점의 좌표를 쉽게 파악할 수 있다.

f(x)=a(x−p)2+q

여기서 (p, q)는 포물선의 꼭짓점의 좌표이다. 표준형은 이차함수의 그래프를 평행이동한 형태로 이해할 수 있다.

 

 

 

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