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Ch 3. 함수 - 함수의 정의, 함수의 그래프, 함수의 변형 소개, 함수의 평행, 대칭이동

 

함수: 정의, 그래프, 변형, 평행이동, 대칭이동

함수는 수학에서 두 집합의 원소들을 짝짓는 규칙을 나타내는 중요한 개념이다. 이 규칙을 이해하면 수많은 현상을 분석하고 예측할 수 있다. 함수의 성질을 시각적으로 나타내는 것이 그래프이며, 이 그래프를 다양한 방식으로 변형함으로써 함수의 변화를 이해할 수 있다.

1. 함수의 정의 및 표현

함수는 집합 X의 원소 각각을 집합 Y의 원소 하나에 대응시키는 규칙을 의미한다. 여기서 집합 X는 정의역(Domain), 집합 Y는 공역(Codomain)이라고 하며, 정의역의 원소 x에 대응되는 공역의 원소 f(x)를 함숫값 또는 치역(Range)이라고 한다.

• 기호: f:X→Y
• 표현: 함수는 대수식, 그래프, 또는 표 등으로 표현할 수 있다.
  • 대수식: f(x)=2x+1
  • 그래프: 함수의 관계를 좌표평면 위에 점으로 나타낸다.
  • 표: 입력 x에 따른 출력 $f(x)$의 값을 표로 정리한다.

2. 함수의 그래프

함수의 그래프는 함수의 관계를 시각적으로 표현하는 가장 효과적인 방법이다. 그래프는 정의역의 모든 원소 x와 그에 대응하는 함숫값 f(x)의 순서쌍 (x, f(x))를 좌표평면에 나타낸 것이다.

• 함수 판별: 임의의 직선 x=a를 그었을 때, 그래프와 오직 한 점에서만 만난다면 그 그래프는 함수이다. 이는 정의역의 원소 하나가 치역의 원소 하나에만 대응된다는 함수의 정의를 시각적으로 확인하는 방법이다.

3. 함수의 변형: 평행이동과 대칭이동

함수의 그래프를 다양한 방식으로 변형하면, 함수의 성질이 어떻게 변하는지 쉽게 이해할 수 있다.

3.1. 함수의 평행이동 (Translation)

함수의 평행이동은 그래프의 모양을 유지한 채로 위치를 옮기는 것을 말한다.

• x축 방향으로의 평행이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 a만큼 평행이동하면 y = f(x-a)가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 x축 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=(x−2)2이 된다.
• y축 방향으로의 평행이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y=f(x)+b가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 y축 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=x2+3이 된다.
• x축과 y축 동시 평행이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y=f(x−a)+b가 된다.

3.2. 함수의 대칭이동 (Reflection)

함수의 대칭이동은 그래프를 특정 축이나 점에 대해 대칭적으로 뒤집는 것을 말한다.

• x축에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축에 대해 대칭이동하면 −y=f(x), 즉 y = -f(x)가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 x축에 대해 대칭이동하면 y=−x2이 된다.
• y축에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 y축에 대해 대칭이동하면 y = f(-x)가 된다.
  • 예시: y=x의 그래프를 y축에 대해 대칭이동하면 y=−x가 된다.
• 원점(0,0)에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 원점에 대해 대칭이동하면 −y=f(−x), 즉 y = -f(-x)가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 원점에 대해 대칭이동하면 y=−(−x)2=−x2이 된다. (원래 y축 대칭인 그래프이므로 x축 대칭과 결과가 동일하다.)

4. 그래프 예시

텍스트 기반으로는 그래프를 직접 그릴 수 없으므로, y=x2 함수를 예시로 그래프의 변화를 설명한다.

• 기본 그래프: 함수 y=x2의 그래프는 원점 (0,0)을 꼭짓점으로 하고, 아래로 볼록한 포물선이다.
• 평행이동 예시: 함수 y=(x−2)2+3의 그래프는 기본 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 이동시킨 것이다. 꼭짓점은 (2,3)에 위치하며, 모양은 원래와 동일한 아래로 볼록한 포물선이다.
• 대칭이동 예시: 함수 y=−x2의 그래프는 기본 그래프를 x축에 대해 뒤집은 것이다. 꼭짓점은 원점 (0,0)에 위치하지만, 위로 볼록한 포물선이 된다.

5. 함수의 변형과 컴퓨터 과학

함수의 변형 개념은 컴퓨터 그래픽스, 게임 개발, 로봇 공학 등 다양한 분야에서 응용된다.

• 컴퓨터 그래픽스: 2차원 또는 3차원 객체의 위치를 이동시키거나(평행이동), 거울에 비친 것처럼 반전시키거나(대칭이동), 회전시키는 등의 변환(Transformation) 작업에 행렬(Matrix)을 사용한다. 이러한 변환 행렬의 연산은 함수의 평행이동 및 대칭이동과 같은 대수학적 원리를 기반으로 한다.
• 로봇 공학: 로봇 팔의 움직임을 제어할 때, 로봇 팔의 각 관절 위치를 조정하여 원하는 위치로 이동시키는 과정에 함수의 평행이동 및 회전 변환이 활용된다.
• 게임 개발: 게임 캐릭터나 오브젝트의 위치를 화면에 나타내거나, 카메라 시점을 이동시키는 로직에 함수의 변형 개념이 사용된다.

이처럼 함수의 변형은 추상적인 수학적 개념을 시각적인 움직임과 위치 제어라는 구체적인 문제 해결 도구로 변환하는 데 중요한 역할을 한다.

 

 

 

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