패스트캠퍼스 환급챌린지 41일차 : 한 번에 끝내는 컴퓨터 공학 & 인공지능 복수전공 초격차 패키지 강의 후기

본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

 

 

Ch1. 대수학적 특징 - 방정식의 풀이, 곱셈공식

 

 

대수학: 방정식과 곱셈 공식, 그리고 컴퓨터 과학의 응용

대수학은 수학적 문장을 통해 현실 세계의 문제를 추상화하고 해결하는 학문이다. 이 과정에서 방정식은 특정 조건을 만족하는 미지수의 값을 찾는 데 사용되며, 곱셈 공식은 복잡한 식을 간결하게 전개하고 인수분해하는 데 활용된다.

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1. 방정식의 해와 풀이 과정

1.1. 1차 방정식

• 명제: 미지수의 최고차항이 1인 방정식 ax+b=0 (단, a=0)은 오직 하나의 해를 가진다.
• 풀이 과정:
  1. 문제 정의: ax+b=0
  2. 이항: ax=−b
  3. 나눗셈: x=−ab​
• 예시: 방정식 3x+6=0의 해는 x=−2이다.

1.2. 3차 방정식

• 명제: 미지수의 최고차항이 3인 방정식 ax3+bx2+cx+d=0 (단, a=0)은 복소수 범위에서 반드시 3개의 해를 가진다. 이 해는 실근일 수도 있고, 허근일 수도 있다.
• 풀이 과정:
  • 3차 방정식의 일반적인 풀이 방법은 1차 방정식이나 2차 방정식처럼 단순한 공식을 적용하기 어렵다.
  • 주로 인수분해, 조립제법, 혹은 근의 공식(카르다노의 공식) 등을 사용한다.
  • 인수분해: 인수 정리를 이용하여 ax3+bx2+cx+d=(x−α)(a′x2+b′x+c′)=0 형태로 변환한 후, 2차 방정식의 해를 구하는 방식으로 문제를 해결한다.
• 예시: 방정식 x3−8=0의 해를 구하시오.
  • 인수분해: x3−23=(x−2)(x2+2x+4)=0
  • 해: x−2=0에서 x=2 (실근)
  • 2차 방정식: x2+2x+4=0의 해는 근의 공식을 이용하면 x=2−2±4−16​​=2−2±−12​​=2−2±23​i​=−1±3​i (허근)
  • 따라서, 이 방정식의 해는 x=2,x=−1+3​i,x=−1−3​i 이다.

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2. 곱셈 공식의 명제와 증명 (2차식, 3차식)

곱셈 공식은 다항식의 곱셈을 빠르고 정확하게 수행하기 위해 사용하는 일반적인 패턴이다.

2.1. 완전제곱식

• 명제: (a+b)2=a2+2ab+b2
• 증명: (a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

2.2. 합차 공식

• 명제: (a+b)(a−b)=a2−b2
• 증명: (a+b)(a−b)=a(a−b)+b(a−b)=a2−ab+ba−b2=a2−b2

2.3. 3차식 완전제곱식

• 명제: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
• 증명: (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3+3a2b+3ab2+b3

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3. 컴퓨터 과학에서의 응용

대수학의 방정식과 곱셈 공식은 컴퓨터 과학의 여러 분야에서 활용된다.

• 방정식 풀이: 컴퓨터 그래픽스에서는 3차원 모델의 객체 간 충돌을 감지하기 위해 3차 방정식의 해를 구하는 알고리즘을 사용한다. 로봇 공학에서는 로봇 팔의 움직임을 제어하기 위한 역기구학(Inverse Kinematics) 문제에 방정식 풀이 기술이 응용된다.
• 곱셈 공식:
  • 컴파일러 최적화: 컴파일러는 곱셈 공식을 활용하여 코드를 더 효율적으로 변환할 수 있다. 예를 들어, x^2 + 2x + 1과 같은 코드는 (x+1)^2로 변환되어 더 적은 연산으로 동일한 결과를 얻을 수 있다.
  • 암호학: 공개키 암호화 방식 중 하나인 RSA 암호 알고리즘은 소인수분해의 어려움을 이용한다. 인수분해는 곱셈 공식의 역과정으로, 이처럼 대수학적 원리가 암호화의 핵심 기술로 사용된다.
  • 컴퓨터 그래픽스: 3차원 공간에서 객체를 회전, 이동, 크기 변경하는 변환 행렬(transformation matrix) 계산에 곱셈 공식의 원리가 적용된다.

이처럼 대수학의 추상적인 개념들은 컴퓨터 과학의 다양한 영역에서 구체적인 문제 해결 도구로 활용된다.

 

 

 

 

 

 

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