패스트캠퍼스 환급챌린지 42일차 : 한 번에 끝내는 컴퓨터 공학 & 인공지능 복수전공 초격차 패키지 강의 후기

본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

 

Ch 2. 집합 - 집합의 정의, 집합의 포함관계, 집합의 연산

 

 

수학의 집합: 정의, 표현, 관계, 연산, 그리고 항등식

1. 집합의 정의 및 표현

집합은 수학적 문장을 구성하는 핵심 개념으로, 특정한 성질을 공유하는 대상들의 모임을 의미한다. 이 모임에 포함된 대상 하나하나를 원소(Element)라고 하며, 원소와 집합의 관계는 기호 '∈'를 사용하여 표현한다.

집합을 표현하는 방법에는 크게 두 가지가 있다.

• 원소 나열법(Roster Notation): 집합에 속한 모든 원소를 중괄호 {} 안에 나열하는 방법이다.
  • 예시: A={1,2,3}.
• 조건 제시법(Set-Builder Notation): 원소들이 가지는 공통된 성질을 서술하여 표현하는 방법이다.
  • 예시: B={x∣x는10보다작은짝수}.

2. 포함 관계와 벤 다이어그램

2.1. 포함 관계

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, A는 B의 부분 집합(Subset)이라고 하며 기호 'A⊆B'로 표현한다.

• 진부분 집합(Proper Subset): A가 B의 부분 집합이면서 A와 B가 서로 같지 않을 때, A를 B의 진부분 집합이라고 하며 기호 'A⊂B'로 표현한다.
• 기본 성질: 모든 집합은 자기 자신의 부분 집합이다. 공집합 ∅은 모든 집합의 부분 집합이다.

2.2. 벤 다이어그램 (Venn Diagram)

벤 다이어그램은 집합과 집합 사이의 포함 관계, 그리고 연산 관계를 시각적으로 표현하는 도구이다. 일반적으로 전체 집합은 사각형으로 나타내고, 그 안의 집합들은 원이나 타원 형태로 나타내어 집합의 관계를 직관적으로 파악하는 데 도움을 준다.

3. 집합의 연산

두 개 이상의 집합을 조합하여 새로운 집합을 만드는 과정이다.

• 합집합(Union)
  • 정의: 두 집합 A와 B의 모든 원소를 모아 만든 새로운 집합이다.
  • 기호: A∪B
• 교집합(Intersection)
  • 정의: 두 집합 A와 B에 공통으로 속하는 원소들로 이루어진 집합이다.
  • 기호: A∩B

• 차집합(Difference)
  • 정의: 집합 A에는 속하지만 집합 B에는 속하지 않는 원소들로 이루어진 집합이다.
  • 기호: A−B 또는 A∖B

• 여집합(Complement)
  • 정의: 전체 집합 U에 속하면서 특정 집합 A에는 속하지 않는 모든 원소들로 이루어진 집합이다.
  • 기호: Ac

4. 집합의 주요 항등식 (Set Identities)

집합 연산에는 다음과 같은 주요 항등식들이 성립하며, 이는 복잡한 집합 연산식을 단순화하는 데 사용된다.

• 멱등 법칙(Idempotent Laws)
  • A∪A=A
  • A∩A=A
• 교환 법칙(Commutative Laws)
  • A∪B=B∪A
  • A∩B=B∩A
• 결합 법칙(Associative Laws)
  • (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  • (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
• 분배 법칙(Distributive Laws)
  • A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
  • A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
• 항등 법칙(Identity Laws)
  • A∪∅=A
  • A∩U=A
  • A∪U=U
  • A∩∅=∅
• 여집합 법칙(Complement Laws)
  • A∪Ac=U
  • A∩Ac=∅
• 드모르간의 법칙(De Morgan's Laws)
  • (A∪B)c=Ac∩Bc
  • (A∩B)c=Ac∪Bc

 

 

 

 

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