패스트캠퍼스 환급챌린지 46일차 : 한 번에 끝내는 컴퓨터 공학 & 인공지능 복수전공 초격차 패키지 강의 후기

본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

Ch 3. 함수 - 우함수와 기함수, 우함수와 기함수의 특징

 

우함수와 기함수: 대칭성에 따른 함수의 분류

함수는 그래프의 대칭성에 따라 우함수(Even function)와 기함수(Odd function)로 나눌 수 있다. 이러한 분류는 함수의 성질을 파악하고 계산을 단순화하는 데 유용하다.

1. 우함수 (Even Function)

우함수는 y축에 대하여 대칭인 함수를 의미한다.

1.1. 정의

모든 실수 x에 대하여 f(x) = f(-x)를 만족하는 함수 f(x)를 우함수라고 한다.

• 예시:
  • f(x)=x2
    • f(x)=x2
    • f(−x)=(−x)2=x2
    • f(x) = f(-x)이므로, f(x)=x2은 우함수이다.
  • f(x)=cosx
    • f(x)=cosx
    • f(−x)=cos(−x)=cosx
    • f(x) = f(-x)이므로, f(x)=cosx는 우함수이다.

1.2. 특징

• 그래프: 그래프가 y축에 대해 대칭이다.
• 차수: 다항함수에서 모든 항의 차수가 짝수이다. (상수항은 차수가 0이므로 짝수 차수에 속한다.)
• 정적분: 우함수 f(x)가 닫힌 구간 [-a, a]에서 연속일 때, ∫−aa​f(x)dx=2∫0a​f(x)dx가 성립한다.

2. 기함수 (Odd Function)

기함수는 원점(0,0)에 대하여 대칭인 함수를 의미한다.

2.1. 정의

모든 실수 x에 대하여 f(-x) = -f(x)를 만족하는 함수 f(x)를 기함수라고 한다.

• 예시:
  • f(x)=x3
    • f(−x)=(−x)3=−x3
    • −f(x)=−(x3)=−x3
    • f(-x) = -f(x)이므로, f(x)=x3은 기함수이다.
  • f(x)=sinx
    • f(−x)=sin(−x)=−sinx
    • −f(x)=−(sinx)=−sinx
    • f(-x) = -f(x)이므로, f(x)=sinx는 기함수이다.

2.2. 특징

• 그래프: 그래프가 원점에 대해 대칭이다.
• 차수: 다항함수에서 모든 항의 차수가 홀수이다.
• 정적분: 기함수f(x)가 닫힌 구간 [-a, a]에서 연속일 때, ∫−aa​f(x)dx=0이 성립한다.

3. 우함수와 기함수의 성질

• 합과 곱:
  • 우함수 + 우함수 = 우함수
  • 기함수 + 기함수 = 기함수
  • 우함수 × 우함수 = 우함수
  • 기함수 × 기함수 = 우함수
  • 우함수 × 기함수 = 기함수
• 미분과 적분:
  • 우함수를 미분하면 기함수가 된다.
  • 기함수를 미분하면 우함수가 된다.
  • 우함수를 적분하면 기함수가 된다. (단, 적분 상수가 0일 경우)
  • 기함수를 적분하면 우함수가 된다.

우함수와 기함수는 복잡한 함수의 성질을 분석하고 미적분 문제를 해결하는 데 중요한 도구로 활용된다. 함수의 대칭성을 파악하면, 계산량을 크게 줄일 수 있어 수학적 문제를 효율적으로 해결할 수 있다.

 

 

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