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본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

Ch 5. 유리함수와 무리함수

 

 

유리식과 유리함수, 무리식과 무리함수

유리식과 유리함수, 그리고 무리식과 무리함수는 모두 분수 형태로 나타나는 식과 함수를 포함하는 개념이다.

1. 유리식과 유리함수

유리식 (Rational Expression)

정의: 유리식은 두 다항식의 비, 즉 f(a)/f(b)의 형태로 나타나는 식을 말한다. 여기서 A와 B는 다항식이고, B≠0이다. 예를 들어 f(x^2+1)/(x-3)이나1/x​ 등이 유리식이다.

유리함수 (Rational Function)

정의: 유리함수는 y = f(x)/g(x)의 형태로 나타나는 함수이다. 여기서 f(x)와 $g(x)$는 다항함수이고, g(x)≠0이다. 다항함수도 분모가 1인 유리함수로 볼 수 있지만, 일반적으로 유리함수라 하면 분모에 x에 대한 식이 있는 경우를 의미한다.

유리함수의 특징:

• 점근선: 유리함수의 가장 큰 특징은 점근선(Asymptote)이 존재한다는 점이다. 점근선은 그래프가 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는 선이다.
  • 수직 점근선: 분모인 g(x)가 0이 되는 x 값에서 수직 점근선이 생긴다. 예를 들어 함수 y = f(1/x-2)는 분모가 x=2일 때 0이 되므로, x=2가 수직 점근선이다.
  • 수평 점근선: x가 무한대로 커지거나 작아질 때 y 값이 어떤 상수값에 가까워지는 경우, 그 상수값에 해당하는 y 값이 수평 점근선이 된다. 이는 분자와 분모의 차수를 비교하여 찾을 수 있다.
    • (분자의 차수) < (분모의 차수): 수평 점근선은 y=0이다. (예: y=x2x+1​)
    • (분자의 차수) = (분모의 차수): 수평 점근선은 최고차항 계수의 비이다. (예: y = f((2x+1)/(3x-2))는 y=f(2)/f(3)이 수평 점근선)
    • (분자의 차수) > (분모의 차수): 수평 점근선은 존재하지 않는다.

그래프 예제: 가장 기본적인 유리함수인 y = f(1/x)의 그래프는 원점에 대해 대칭인 쌍곡선이다. x=0과 y=0이 각각 수직, 수평 점근선이다.

2. 무리식과 무리함수

무리식 (Irrational Expression)

정의: 무리식은 근호(√) 안에 문자가 포함된 식을 말한다. 예를 들어√(x+1)이나 √3x ​ 등이 무리식이다. 무리식이 실수가 되려면 근호 안의 값이 0 이상이어야 한다.

무리함수 (Irrational Function)

정의: 무리함수는 y = √f(x)와 같이 변수 x가 근호 안에 포함된 함수를 말한다. 무리함수의 정의역은 근호 안의 식 f(x)가 0 이상이 되는 범위로 제한된다.

무리함수의 특징:

• 제한된 정의역: 무리함수는 근호 안의 값이 음수가 될 수 없으므로, 정의역이 특정 범위로 제한된다. 예를 들어 y = √x-1은 x−1≥0, 즉 x≥1에서만 정의된다.
• 시작점: 무리함수 그래프는 특정 점에서 시작하여 한쪽 방향으로만 뻗어나가는 형태를 가진다. 이 시작점은 근호 안의 값이 0이 되는 x 값과 그때의 y 값을 통해 찾을 수 있다.

그래프 예제: 가장 기본적인 무리함수인 y = √x의 그래프는 x≥0에서 시작하여 오른쪽 위로 뻗어나간다. 시작점은 (0, 0)이다.

무리함수 그래프의 평행이동 및 대칭이동: 무리함수 y=ax−p

​+q의 그래프는 기본형 y=a√x의 그래프를 x축 방향으로 p만큼, y축 방향으로 q만큼 평행이동한 형태이다.

예를 들어 y=x−1

​+2의 그래프는 y = √x의 그래프를 x축 방향으로 1만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동한 것으로, 시작점은 (1, 2)이다.

 

 

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