패스트캠퍼스 환급챌린지 47일차 : 한 번에 끝내는 컴퓨터 공학 & 인공지능 복수전공 초격차 패키지 강의 후기

본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

 

 

Ch 3. 함수 - 합성함수, 역함수, 증가 감소함수

 

함수: 합성함수, 역함수, 증가/감소 함수

함수는 두 집합의 원소들을 짝짓는 규칙을 나타내는 수학의 중요한 개념이다. 함수의 종류와 성질을 이해하면 복잡한 문제를 단순화하고, 데이터의 변화를 예측하는 데 도움을 받을 수 있다. 여기서는 합성함수, 역함수, 그리고 함수의 증감에 대해 자세히 알아본다.

1. 합성함수(Composite Function)

합성함수는 두 개 이상의 함수를 순차적으로 적용하여 하나의 새로운 함수를 만드는 개념이다.

1.1. 정의

두 함수 f:X→Y와 g:Y→Z가 있을 때, 집합 X의 원소 x를 함수 f에 대응시켜 y를 얻고, 다시 그 결과인 y를 함수 g에 대응시켜 z를 얻는 과정을 하나의 함수로 나타낸 것을 합성함수라 한다.

• 기호: (g∘f)(x)=g(f(x))
• 주의: 합성함수 g∘f가 정의되려면, 함수 f의 치역(range)이 함수 g의 정의역(domain)의 부분집합이어야 한다.

1.2. 특징

• 결합법칙 성립: (h∘g)∘f=h∘(g∘f)
• 교환법칙 불성립: 일반적으로 f∘g=g∘f
• 컴퓨터 공학에서의 응용: 합성함수는 파이프라인(pipeline)이나 함수 체인(function chain)과 같은 프로그래밍 패턴의 기초가 된다. 예를 들어, 데이터를_처리하는_함수(데이터를_가공하는_함수(원본데이터))와 같이 여러 함수를 순서대로 적용하여 최종 결과를 얻는 방식은 합성함수 개념을 코드로 구현한 것이다.

2. 역함수(Inverse Function)

역함수는 어떤 함수의 대응 관계를 반대로 돌려놓는 함수이다.

2.1. 정의

함수 f:X→Y가 있을 때, 집합 Y의 원소 y에 대하여 f(x)=y를 만족하는 유일한 원소 x를 대응시키는 새로운 함수를 f의 역함수라 한다.

• 기호: f−1:Y→X
• 성립 조건: 함수 f가 일대일 대응(One-to-one correspondence)일 때만 역함수가 존재한다. 일대일 대응은 정의역의 서로 다른 원소가 공역의 서로 다른 원소에 대응되고, 치역과 공역이 같은 함수를 의미한다.

2.2. 특징

• 합성 관계: 함수 f와 그 역함수 f^(-1)를 합성하면 항등 함수가 된다.
  • (f−1∘f)(x)=x
  • (f∘f−1)(y)=y
• 그래프: 함수 f(x)의 그래프와 그 역함수 f^(-x)의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

3. 증가 함수와 감소 함수

함수의 증감은 정의역의 원소가 증가할 때, 함숫값이 어떻게 변하는지를 나타내는 성질이다.

3.1. 증가 함수(Increasing Function)

증가 함수는 정의역의 원소가 증가할 때 함숫값도 증가하거나 같다.

• 정의: 정의역의 임의의 두 원소 x1​,x2​에 대하여, x1​<x2​일 때 f(x_1) ≤ f(x_2)를 만족하는 함수 f(x)를 증가 함수라고 한다.
• 강한 증가 함수(Strictly Increasing Function): x1​<x2​일 때 f(x_1) < f(x_2)를 만족하는 함수이다.
• 그래프: 오른쪽 위로 향하는 모양을 가진다.
• 미분과의 관계: 미분 가능한 함수 f(x)에 대해, 모든 x에서 f′(x)≥0이면 f(x)는 증가 함수이다.

3.2. 감소 함수(Decreasing Function)

감소 함수는 정의역의 원소가 증가할 때 함숫값이 감소하거나 같다.

• 정의: 정의역의 임의의 두 원소 x1​,x2​에 대하여, x1​<x2​일 때 f(x_1) ≥ f(x_2)를 만족하는 함수 f(x)를 감소 함수라고 한다.
• 강한 감소 함수(Strictly Decreasing Function): x1​<x2​일 때 f(x_1) > f(x_2)를 만족하는 함수이다.
• 그래프: 오른쪽 아래로 향하는 모양을 가진다.
• 미분과의 관계: 미분 가능한 함수 f(x)에 대해, 모든 x에서 f′(x)≤0이면 f(x)는 감소 함수이다.

4. 함수 개념의 응용

함수 개념은 컴퓨터 과학과 인공지능 분야에서 광범위하게 응용된다.

• 합성함수: 인공 신경망(Neural Network)은 여러 개의 함수(활성화 함수)를 합성하여 복잡한 패턴을 학습한다. 각 계층(layer)의 출력은 다음 계층의 입력이 되며, 이는 합성함수의 구조와 동일하다.
• 역함수: 암호화와 복호화 과정은 역함수 관계에 있다. 데이터가 암호화 함수 f에 의해 변환되면, 복호화 함수 f^(-1)를 통해 원래 데이터로 되돌려야 한다.
• 증감 함수: 데이터 분석에서 모델의 예측값이 특정 입력에 따라 어떻게 변하는지(증가하거나 감소하는지)를 분석하여 모델의 특성을 이해하는 데 활용된다.

 

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