패스트캠퍼스 환급챌린지 45일차 : 한 번에 끝내는 컴퓨터 공학 & 인공지능 복수전공 초격차 패키지 강의 후기

본 포스팅은 패스트캠퍼스 환급 챌린지 참여를 위해 작성하였습니다.

ch 3. 함수 - 함수의 수축과 팽창, 함수의 이동연습, 대칭이동 추가

 

함수: 수축과 팽창, 평행이동, 대칭이동

함수는 두 집합의 원소를 짝짓는 규칙을 나타낸다. 함수의 그래프는 이 규칙을 시각적으로 표현하며, 그래프의 변형을 통해 함수의 성질 변화를 이해할 수 있다. 함수의 변형에는 위치를 바꾸는 평행이동, 모양을 바꾸는 수축과 팽창, 방향을 바꾸는 대칭이동이 있다.

1. 함수의 평행이동 (Translation)

함수의 평행이동은 그래프의 모양을 유지한 채로 위치를 옮기는 변환이다.

• x축 방향으로의 평행이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 a만큼 평행이동하면 y = f(x-a)가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 x축 방향으로 2만큼 평행이동하면 y=(x−2)2이 된다.
• y축 방향으로의 평행이동: 함수 y = f(x) 그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y=f(x)+b가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 y축 방향으로 3만큼 평행이동하면 y=x2+3이 된다.
• x축과 y축 동시 평행이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축 방향으로 a만큼, y축 방향으로 b만큼 평행이동하면 y=f(x−a)+b가 된다.

2. 함수의 수축과 팽창

함수의 수축과 팽창은 그래프의 모양을 변화시키는 변환이다. 이 변환은 그래프를 x축 또는 y축 방향으로 늘이거나 줄이는 효과를 낸다.

• x축 방향으로의 수축과 팽창: 함수 y = f(x)의 그래프에서 x 대신 f(ax)를 대입하여 y = f(ax)로 변환하면, x축 방향으로 a배만큼 팽창하거나 수축한다.
  • a>1: x축 방향으로 팽창한다.
  • 0<a<1: x축 방향으로 수축한다.
  • 예시: y = sin(x)의 그래프를 x축 방향으로 2배 팽창시키면 y = sin(2x)가 된다.
• y축 방향으로의 수축과 팽창: 함수 y = f(x)의 그래프에서 y 대신 f(by)를 대입하여 y = 1/bf(x)로 변환하면, y축 방향으로 b배만큼 팽창하거나 수축한다.
  • b>1: y축 방향으로 팽창한다.
  • 0<b<1: y축 방향으로 수축한다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 y축 방향으로 2배 팽창시키면 y=2x2이 된다.

3. 함수의 대칭이동 (Reflection)

함수의 대칭이동은 그래프를 특정 축이나 점에 대해 뒤집는 변환이다.

• x축에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 x축에 대해 대칭이동하면 −y=f(x), 즉 y = -f(x)가 된다.
  • 예시: y=x2의 그래프를 x축에 대해 대칭이동하면 y=−x2이 된다.
• y축에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 y축에 대해 대칭이동하면 y = f(-x)가 된다.
  • 예시: y=x의 그래프를 y축에 대해 대칭이동하면 y=−x가 된다.
• 원점(0,0)에 대한 대칭이동: 함수 y = f(x)의 그래프를 원점에 대해 대칭이동하면 −y=f(−x), 즉 y = -f(-x)가 된다.
  • 예시: y=x3의 그래프를 원점에 대해 대칭이동하면 y=−(−x)3=−(−x3)=x3이 되어 원래 그래프와 동일하다.

4. 그래프 예시 사진

텍스트 기반 모델은 이미지를 직접 생성할 수 없지만, 아래의 예시를 통해 그래프의 변화를 시각적으로 이해할 수 있다.

• 평행이동:
  • 기본 함수 y=x2의 그래프는 원점 (0,0)을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.
  • y=(x−2)2+3의 그래프는 이 포물선을 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 3만큼 옮긴 것이며, 꼭짓점은 (2,3)에 위치한다.
• 수축과 팽창:
  • 기본 함수 y=x2의 그래프는 원점 (0,0)을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.
  • y=2x2의 그래프는 y=x2의 그래프를 y축 방향으로 2배 늘린 것으로, 포물선의 폭이 더 좁아진다.
• 대칭이동:
  • 기본 함수 y=x2의 그래프는 아래로 볼록한 포물선이다.
  • y=−x2의 그래프는 이 포물선을 x축에 대해 뒤집은 것으로, 위로 볼록한 포물선이 된다.

 

 

 

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